La méthode d’Euler

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Remarques, questions

Prérequis : dérivabilité et approximation affine

Présentation :

La méthode d’Euler permet d’obtenir une valeur approchée d’une valeur d’une fonction en un point lorsque la fonction elle-même n’est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre point et sa dérivée (ce qui est déjà beaucoup).

Elle permet alors également la construction d’une représentation graphique approchée de la fonction étudiée.

Concrètement la méthode d’Euler repose sur l’utilisation de l’approximation affine de la fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, a et b des réels de I, b proche de a, alors : f(b)≈f(a) + (b-a)f ’(a).

Donc si l’on connait f(a) et f ’(a) alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(b).

Plus concrètement encore, plus b est proche de a, moins l’erreur commise sur f(b) est grande, ce qui, connaissant f(a), conduit à l’idée d’obtenir f(b), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires de f entre f(a) et f(b).

A - Application à la découverte d’une nouvelle fonction : la fonction arctangente

Considérons la fonction f définie et dérivable sur R telle que : f(0) = 0 et .

I – Mise en œuvre de la méthode d’Euler :

On rappelle que pour h petit on a : f(a+h)≈f(a) + hf ’(a), où h désignera ici le pas.

Objectif : fixons nous ici l’objectif modeste d’obtenir une valeur approchée de f(1) et de construire une représentation graphique approchée de la courbe représentative de f sur l’intervalle [0 ;1].

1º) À la main :

Pas égal à 1 : … d’où …

Pas égal à 0,5 : …

d’où …

Pas égal à 0,2 : …

…

…

…

… d’où …

On peut construire les représentations graphiques approchées de la courbe de f pour ces différentes valeurs du pas sur un même graphique.

2º) Généralisation :

Plus théoriquement, on construit, pour une valeur du pas fixée permettant d’aller de a à b dans l’intervalle [a ;b], une suite d’abscisses (x_k) et une suite d’ordonnées (y_k) qui sont des valeurs approchées des f(x_k), de la façon suivante :

Si l’on veut n termes de a à b on prend un pas et l’on pose :

(xk)	(yk)
x0 = a x1 = x0 + h = a + h x2 = x1 + h = a + 2h … xn = xn-1 + h = a + nh = b	f(a) = y0 (connu)

On admet que plus n est grand, ou le pas petit, et meilleure est l’approximation.

3º) À l’aide du tableur :

À l’aide du tableur, en prenant un pas h=0,01, construire les suites (x_k) et (y_k) précédemment définies :

valeurs obtenues à l'aide des formules suivantes :

en commençant à la ligne 1 on arrive dans notre cas à la ligne 102 (car le pas est h=0,01).

i) Relever la valeur obtenue pour f(1).

ii) Construire le graphique (type de graphique : nuages de points) obtenu à partir des points de coordonnées (x_k ; y_k).

On obtient quelque chose comme ça :

Exercice :

Construire, de façon analogue, la représentation approchée par la méthode d’Euler sur l’intervalle [-2 ;2] avec le pas h = 0,001.

II – Pour plus d’informations sur la fonction étudiée :

1º) Bijection :

À l’aide du théorème de bijection, établir que la fonction f étudiée ici réalise une bijection de R dans son ensemble image.

2º) Fonction tangente :

Soit g la fonction définie sur par : g(x) = tan(x).

Soit h la fonction définie sur par : h(x) = f(g(x)).

a) Établir la relation : h ’(x) = 1.

b) En déduire que pour tout x de , h(x) = x.

c) En déduire que f est la fonction réciproque de la fonction tangente.

d) En déduire la représentation graphique de f.

B - Application à la découverte d’une nouvelle fonction : la fonction exponentielle

On peut établir qu’il existe une et une seule fonction définie et dérivable sur R telle que : . Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.

Si une telle définition est peu explicite, nombre d’informations peuvent en être déduites, et la méthode d’Euler est tout à fait adaptée ici pour obtenir des valeurs et courbes approchées de la fonction exponentielle ainsi définie.

Objectif : fixons nous ici comme objectif d’obtenir des courbes approchées, pour différentes valeurs du pas, sur l’intervalle [-2 ;2].

I – Mise en œuvre de la méthode d’Euler :

Raisonnons sur un intervalle [0 ; b] avec , découpé en n intervalles d’amplitude , le pas de la méthode étant donc ici h=. La méthode d’Euler nous conduit à construire la suite d’abscisses (x_k) et la suite d’ordonnées (y_k) qui sont des valeurs approchées des f(x_k), de la façon suivante :

(xk)	(yk)
x0 = 0 x1 = x0 + h = x2 = x1 + h = … xn = xn-1 + h = = b	y0 = f(x0) = f(0)

Donc pour tout , et en remplaçant f(x_k-1) par y_k-1 on obtient donc : y_k = …

Ce qui permet d’en déduire que la suite (y_k) est : …

Donner alors une expression explicite de y_k en fonction de k : …

On en déduit en particulier que :

Qu’obtient-on pour b = 1 ?

On retrouve ainsi l’approximation bien connue du nombre e : .

À l’aide de votre calculatrice, déterminer les valeurs approchées de e ainsi obtenues :

Que se passe-t-il pour des valeurs plus grandes de n ? Pourquoi ? Comparer ces valeurs à la valeur approchée de e donnée par votre calculatrice.

II – Construction des représentations graphiques approchées à l’aide du tableur :

1º) Pas h = 0,1 :

a) Ayant obtenu dans la partie précédente la relation on peut construire les tableaux de valeurs suivants :

Sur [0 ;2]	Sur [-2 ;0]
… obtenu à l’aide des formules suivantes :	… obtenu à l’aide des formules suivantes :

b) Une fois ces tableaux construits, créer un graphique (nuage de points) avec les deux séries successivement (série 1 et série 2 dans l’assistant graphique) en sélectionnant correctement les cellules.

On fera en sorte que les deux portions de courbes obtenues soient de la même couleur.

2º) Pas h = 0,01 :

a) En travaillant cette fois dans les colonnes C et D, on peut construire les tableaux de valeurs suivants :

Sur [0 ;2]	Sur [-2 ;0]
… obtenu à l’aide des formules suivantes :	… obtenu à l’aide des formules suivantes :

b) Une fois ces tableaux construits, créer un graphique (nuage de points) avec les deux séries successivement (série 3 et série 4 dans l’assistant graphique) en sélectionnant correctement les cellules.

On fera en sorte que les deux portions de courbes obtenues soient de la même couleur.

3º) Pas h = 0,001 :

Pour les courageux et les plus rapides.

On remarquera sur un graphique que l’on différencie difficilement cette courbe de celle obtenue à l’aide du pas 0,01.

4º) Et la fonction exponentielle ?

Faire tracer, toujours sur le même graphique, la courbe représentant la fonction exponentielle (la vraie ! … enfin … celle de la machine – fonction EXP), encore d’une autre couleur.

On obtiendra quelque chose comme ça :

Une question pour finir : comment Excel fabrique-t-il son exponentielle ?

Si vous avez une réponse, merci de me la transmettre : contact@mathvoc.com